初項が1、公比が2、項数が $n$ の等比数列について、以下の問いに答える。 (1) 各項の積 $P$ を求める。 (2) 各項の逆数の和 $T$ を求める。 (3) 各項の和を $S$ とするとき、等式 $S^n = P^2 T^n$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

初項が1、公比が2、項数が $n$ の等比数列について、以下の問いに答える。

(1) 各項の積 $P$ を求める。

(2) 各項の逆数の和 $T$ を求める。

(3) 各項の和を $S$ とするとき、等式 $S^n = P^2 T^n$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 各項の積 $P$ について：

等比数列の一般項は $a_k = a_1 r^{k-1}$ で与えられる。ここで $a_1 = 1$、$r = 2$ なので、$a_k = 2^{k-1}$ となる。

各項の積 $P$ は、

$P = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \cdot \dots \cdot 2^{n-1} = 2^{0+1+2+\dots+(n-1)}$

指数部分は初項0、末項 $n-1$、項数 $n$ の等差数列の和なので、

$0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{n(0 + n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

よって、$P = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ となる。

(2) 各項の逆数の和 $T$ について：

各項の逆数は $\frac{1}{a_k} = \frac{1}{2^{k-1}}$ で与えられる。これは初項1、公比$\frac{1}{2}$の等比数列である。

逆数の和 $T$ は、

$T = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{2}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}}$

よって、$T = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}}$ となる。

(3) $S^n = P^2 T^n$ の証明：

等比数列の和 $S$ は、

$S = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$

したがって、$S = 2^n - 1$ となる。

左辺 $S^n = (2^n - 1)^n$。

右辺 $P^2 T^n = (2^{\frac{n(n-1)}{2}})^2 (\frac{2^n - 1}{2^{n-1}})^n = 2^{n(n-1)} \frac{(2^n - 1)^n}{2^{n(n-1)}} = (2^n - 1)^n$

したがって、左辺 = 右辺となり、$S^n = P^2 T^n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $P = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}$

(2) $T = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}}$

(3) $S^n = P^2 T^n$ は成り立つ。