$a>0$, $b>0$ のとき、不等式 $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求める問題です。

1. 問題の内容

$a>0$, $b>0$ のとき、不等式 $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式の左辺を展開します。

$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

ここで、$a>0$ かつ $b>0$ であるので、$\frac{a}{b} > 0$ かつ $\frac{b}{a} > 0$ です。相加平均と相乗平均の大小関係より、

$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{2} \ge \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{1}$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$

したがって、

$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 + 2 = 4$

よって、不等式 $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、相加平均と相乗平均の関係で等号が成り立つとき、すなわち $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$ のときです。

このとき、$a^2 = b^2$ となり、$a>0$, $b>0$ であるから、$a=b$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ が成り立つ。

等号が成り立つのは $a=b$ のとき。