与えられた画像に含まれる複数の数学の問題を解きます。具体的には、以下の5つの問題です。 (2) 次の式を計算せよ。 1. $(3-i) + (1+i)$ 2. $(3-2i)^2$ 3. $\frac{3+i}{2-i}$ 4. $\sqrt{-2} \sqrt{-8}$ (3) 整式 $2x^3 - x^2 + 3x + 1$ を1次式 $x+1$ で割った余りを求めよ。 (4) 2数 $1+\sqrt{2}i$, $1-\sqrt{2}i$ を解とする2次方程式を1つ作れ。 (5) 次の方程式を解け。 1. $x^2 + 2x + 5 = 0$ 2. $x^4 - 16 = 0$

## 回答

1. 問題の内容

与えられた画像に含まれる複数の数学の問題を解きます。具体的には、以下の5つの問題です。

(2) 次の式を計算せよ。

1. $(3-i) + (1+i)$

2. $(3-2i)^2$

3. $\frac{3+i}{2-i}$

4. $\sqrt{-2} \sqrt{-8}$

(3) 整式 $2x^3 - x^2 + 3x + 1$ を1次式 $x+1$ で割った余りを求めよ。

(4) 2数 $1+\sqrt{2}i$, $1-\sqrt{2}i$ を解とする2次方程式を1つ作れ。

(5) 次の方程式を解け。

1. $x^2 + 2x + 5 = 0$

2. $x^4 - 16 = 0$

2. 解き方の手順

(2) 式の計算

1. $(3-i) + (1+i) = 3 - i + 1 + i = (3+1) + (-1+1)i = 4 + 0i = 4$

2. $(3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i) = 3*3 + 3*(-2i) + (-2i)*3 + (-2i)*(-2i) = 9 - 6i - 6i + 4i^2 = 9 - 12i + 4(-1) = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$

3. $\frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{6 + 5i - 1}{4 - (-1)} = \frac{5 + 5i}{5} = 1 + i$

4. $\sqrt{-2} \sqrt{-8} = \sqrt{2}i \sqrt{8}i = \sqrt{16} i^2 = 4 (-1) = -4$

(3) 余りの計算

余りの定理より、$x+1=0$ となる $x = -1$ を整式に代入することで余りが求められる。

$2(-1)^3 - (-1)^2 + 3(-1) + 1 = 2(-1) - 1 - 3 + 1 = -2 - 1 - 3 + 1 = -5$

(4) 2次方程式の作成

解が $1+\sqrt{2}i$ と $1-\sqrt{2}i$ である2次方程式は、解と係数の関係より

$x^2 - (\text{2つの解の和})x + (\text{2つの解の積}) = 0$

2つの解の和は $(1+\sqrt{2}i) + (1-\sqrt{2}i) = 2$

2つの解の積は $(1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i) = 1 - (\sqrt{2}i)^2 = 1 - 2i^2 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

よって、$x^2 - 2x + 3 = 0$

(5) 方程式を解く

1. $x^2 + 2x + 5 = 0$

解の公式より

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$

2. $x^4 - 16 = 0$

$(x^2)^2 - 4^2 = 0$

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$

よって、$x^2 - 4 = 0$ または $x^2 + 4 = 0$

$x^2 = 4$ より $x = \pm 2$

$x^2 = -4$ より $x = \pm 2i$

したがって、$x = 2, -2, 2i, -2i$

3. 最終的な答え

(2)

1. 4

2. $5 - 12i$

3. $1+i$

4. $-4$

(3) -5

(4) $x^2 - 2x + 3 = 0$

(5)

1. $x = -1 \pm 2i$

2. $x = 2, -2, 2i, -2i$