$a+b+c=0$ のとき、等式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0$ を証明せよ。

## 問題1

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、等式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

$a+b+c=0$ より、$c = -(a+b)$ であることを利用します。

左辺に代入して変形し、0になることを示します。

左辺 $= ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$

$= ab(a+b)+b(-(a+b))(b-(a+b))+(-a-b)a(-(a+b)+a)+3ab(-(a+b))$

$= ab(a+b) -b(a+b)(b-a-b) -(a+b)a(-b)+3ab(-a-b)$

$= ab(a+b) -b(a+b)(-a) -(a+b)a(-b)-3ab(a+b)$

$= ab(a+b) +ab(a+b)+ab(a+b)-3ab(a+b)$

$= 3ab(a+b) - 3ab(a+b)$

$= 0$

したがって、$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a+b+c=0$ のとき、$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0$ が成り立つ。

## 問題2

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a^2+b^2}{b^2} = \frac{c^2+d^2}{d^2}$ が成り立つことを証明せよ。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ より、$a = \frac{bc}{d}$ である。

左辺に代入して右辺と等しくなることを示す。

左辺 $= \frac{a^2+b^2}{b^2} = \frac{(\frac{bc}{d})^2+b^2}{b^2} = \frac{\frac{b^2c^2}{d^2}+b^2}{b^2}$

$= \frac{b^2(\frac{c^2}{d^2}+1)}{b^2}$

$= \frac{c^2}{d^2}+1$

$= \frac{c^2+d^2}{d^2}$ = 右辺

したがって、$\frac{a^2+b^2}{b^2} = \frac{c^2+d^2}{d^2}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a^2+b^2}{b^2} = \frac{c^2+d^2}{d^2}$ が成り立つ。