3次方程式 $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を用いて、方程式の解を一つ見つけます。

$x=1$ を代入すると、$1^3 + 7(1^2) - 6 = 1 + 7 - 6 = 2 \neq 0$ なので、$x=1$ は解ではありません。

$x=-1$ を代入すると,$(-1)^3 + 7(-1)^2 - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$ なので、$x=-1$ は解です。

したがって、$x+1$ は $x^3 + 7x^2 - 6$ の因数です。

(2) 多項式の割り算を行います。$x^3 + 7x^2 - 6$ を $x+1$ で割ります。

```

x^2 + 6x - 6

x+1 | x^3 + 7x^2 + 0x - 6

x^3 + x^2

------------

6x^2 + 0x

6x^2 + 6x

------------

-6x - 6

-6x - 6

------------

0

```

よって、 $x^3 + 7x^2 - 6 = (x+1)(x^2 + 6x - 6)$ と因数分解できます。

(3) 2次方程式 $x^2 + 6x - 6 = 0$ を解きます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使います。

$a=1, b=6, c=-6$ なので、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$

したがって、$x^2 + 6x - 6 = 0$ の解は $x = -3 + \sqrt{15}$ と $x = -3 - \sqrt{15}$ です。

(4) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$ の解は $x = -1, -3 + \sqrt{15}, -3 - \sqrt{15}$ です。

3. 最終的な答え

$x = -1, -3 + \sqrt{15}, -3 - \sqrt{15}$