与えられた方程式 $x^4 - 16 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^4 - 16 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を因数分解します。$x^4 - 16$ は $(x^2)^2 - 4^2$ と見なせるので、差の二乗の因数分解の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を適用できます。

$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)$

次に、$x^2 - 4$ も差の二乗の形をしているので、さらに因数分解できます。

$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

したがって、$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$ となります。

したがって、方程式 $x^4 - 16 = 0$ は $(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2) = 0$ となります。

この方程式が成り立つのは、$x^2 + 4 = 0$ または $x + 2 = 0$ または $x - 2 = 0$ のいずれかの場合です。

$x + 2 = 0$ から $x = -2$ が得られます。

$x - 2 = 0$ から $x = 2$ が得られます。

$x^2 + 4 = 0$ から $x^2 = -4$ が得られます。したがって、$x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$ となります。

3. 最終的な答え

方程式 $x^4 - 16 = 0$ の解は $x = -2, 2, -2i, 2i$ です。