与えられた等式・不等式を証明し、不等式の場合は等号が成り立つ条件を求める。 (1) $a+b+c=0$ のとき、$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ を証明する。 (2) $x^2 + 2xy \geq -2y^2$ を証明する。 (3) $a>0, b>0$ のとき、$9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ を証明する。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた等式・不等式を証明し、不等式の場合は等号が成り立つ条件を求める。

(1) $a+b+c=0$ のとき、$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ を証明する。

(2) $x^2 + 2xy \geq -2y^2$ を証明する。

(3) $a>0, b>0$ のとき、$9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1) $a + b + c = 0$ より、$a = -(b+c)$ が成り立つ。

$a^2 - 2bc$ に代入すると、

$a^2 - 2bc = (-(b+c))^2 - 2bc = (b+c)^2 - 2bc = b^2 + 2bc + c^2 - 2bc = b^2 + c^2$

したがって、$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ が成り立つ。

(2) $x^2 + 2xy \geq -2y^2$ を変形する。

$x^2 + 2xy + 2y^2 \geq 0$

$(x^2 + 2xy + y^2) + y^2 \geq 0$

$(x+y)^2 + y^2 \geq 0$

$(x+y)^2 \geq 0$ かつ $y^2 \geq 0$ より、常に $(x+y)^2 + y^2 \geq 0$ が成り立つ。

したがって、$x^2 + 2xy \geq -2y^2$ が成り立つ。

等号成立は、$x+y=0$ かつ $y=0$ のとき、つまり $x=0$ かつ $y=0$ のとき。

(3) $a>0, b>0$ より、$ab>0$ である。相加平均・相乗平均の関係より、

$\frac{9ab + \frac{1}{ab}}{2} \geq \sqrt{9ab \cdot \frac{1}{ab}} = \sqrt{9} = 3$

$9ab + \frac{1}{ab} \geq 2 \cdot 3 = 6$

したがって、$9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ が成り立つ。

等号成立は、$9ab = \frac{1}{ab}$ のとき。

$(ab)^2 = \frac{1}{9}$

$ab = \pm \frac{1}{3}$

$ab > 0$ より、$ab = \frac{1}{3}$ のとき。

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - 2bc = b^2 + c^2$

(2) $x^2 + 2xy \geq -2y^2$ （等号成立は $x=0$ かつ $y=0$ のとき）

(3) $9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ （等号成立は $ab = \frac{1}{3}$ のとき）