## 問題3の(2)と(3)を解きます

## 問題3の(2)と(3)を解きます

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1. 問題の内容

(2) 不等式 $x^2 + 2xy \geq -2y^2$ を証明し、等号成立条件を求めよ。

(3) $a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ を証明し、等号成立条件を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(2) 不等式の証明**

不等式 $x^2 + 2xy \geq -2y^2$ を証明するために、左辺から右辺を引いたものが0以上であることを示します。

$x^2 + 2xy - (-2y^2) = x^2 + 2xy + 2y^2 = x^2 + 2xy + y^2 + y^2 = (x+y)^2 + y^2$

$(x+y)^2 \geq 0$ かつ $y^2 \geq 0$ なので、$(x+y)^2 + y^2 \geq 0$ となります。

したがって、$x^2 + 2xy \geq -2y^2$ が成り立ちます。

**等号成立条件**

等号が成立するのは、$(x+y)^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ のときです。

$y^2 = 0$ より $y = 0$ であり、$(x+y)^2 = (x+0)^2 = x^2 = 0$ より $x = 0$ です。

したがって、等号成立条件は $x = 0$ かつ $y = 0$ です。

**(3) 不等式の証明**

$a > 0, b > 0$ なので、$ab > 0$ です。したがって、相加相乗平均の不等式を利用できます。

相加相乗平均の不等式とは、$x > 0, y > 0$ のとき、$x + y \geq 2\sqrt{xy}$ であり、等号は $x = y$ のときに成立する、というものです。

$9ab + \frac{1}{ab} \geq 2\sqrt{9ab \cdot \frac{1}{ab}} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

したがって、$9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ が成り立ちます。

**等号成立条件**

等号が成立するのは、$9ab = \frac{1}{ab}$ のときです。

$(9ab)^2 = 1$

$81(ab)^2 = 1$

$(ab)^2 = \frac{1}{9}$

$ab = \pm \frac{1}{3}$

$ab > 0$ より $ab = \frac{1}{3}$ です。

したがって、等号成立条件は $ab = \frac{1}{3}$ です。

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3. 最終的な答え

**(2)**

不等式 $x^2 + 2xy \geq -2y^2$ は証明されました。

等号成立条件は $x = 0$ かつ $y = 0$ です。

**(3)**

不等式 $9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ は証明されました。

等号成立条件は $ab = \frac{1}{3}$ です。