多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが3、$x+3$ で割った余りが-5であるとき、$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが3、$x+3$ で割った余りが-5であるとき、$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

余りの定理より、$P(1) = 3$ かつ $P(-3) = -5$ です。

$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$P(x) = (x-1)(x+3)Q(x) + ax + b$ と表せます。

$P(1) = a(1) + b = a+b = 3$

$P(-3) = a(-3) + b = -3a+b = -5$

この連立方程式を解きます。

$a+b = 3$

$-3a+b = -5$

上の式から下の式を引くと、

$(a+b)-(-3a+b) = 3 - (-5)$

$4a = 8$

$a=2$

$a+b=3$ に $a=2$ を代入すると、

$2+b = 3$

$b=1$

したがって、余りは $ax+b = 2x+1$ です。

3. 最終的な答え

$2x+1$