2次方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $\alpha^2 + \beta^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$

はい、承知いたしました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -(-4)/1 = 4$。

(2) 解と係数の関係より、$\alpha \beta = 5/1 = 5$。

(3) $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha \beta + \beta^2$ より、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$。

$\alpha + \beta = 4$、$\alpha \beta = 5$ を代入すると、$\alpha^2 + \beta^2 = 4^2 - 2 \cdot 5 = 16 - 10 = 6$。

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2)$。

$\alpha + \beta = 4$、$\alpha \beta = 5$、$\alpha^2 + \beta^2 = 6$ を代入すると、

$\alpha^3 + \beta^3 = 4(6 - 5) = 4 \cdot 1 = 4$。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 5

(3) 6

(4) 4