問題6は、2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3m - 9 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。 問題7は、3次方程式 $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

問題6は、2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3m - 9 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

問題7は、3次方程式 $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

問題6：

2次方程式が異なる2つの虚数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ となることです。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で求められます。この問題では、$a=1, b=-m, c=m^2-3m-9$ なので、

$D = (-m)^2 - 4(1)(m^2 - 3m - 9) = m^2 - 4m^2 + 12m + 36 = -3m^2 + 12m + 36$

$D < 0$ より、 $-3m^2 + 12m + 36 < 0$

両辺を -3 で割ると、$m^2 - 4m - 12 > 0$

因数分解すると、$(m-6)(m+2) > 0$

したがって、$m < -2$ または $m > 6$

問題7：

3次方程式 $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$ を解きます。まず、この方程式の整数解を求めます。

$x=1$ を代入すると、$1^3 + 7(1)^2 - 6 = 1 + 7 - 6 = 2 \neq 0$

$x=-1$ を代入すると、$(-1)^3 + 7(-1)^2 - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$

したがって、$x=-1$ はこの方程式の解です。

よって、$x^3 + 7x^2 - 6$ は $x+1$ で割り切れるので、割り算を実行します。

$\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & +6x & -6 \\

\cline{2-5}

x+1 & x^3 & +7x^2 & +0x & -6 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & 6x^2 & +0x \\

\multicolumn{2}{r}{} & 6x^2 & +6x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -6x & -6 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -6x & -6 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}$

$x^3 + 7x^2 - 6 = (x+1)(x^2+6x-6) = 0$

よって、$x+1 = 0$ または $x^2 + 6x - 6 = 0$

$x+1=0$ から $x=-1$

$x^2 + 6x - 6 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36+24}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$

したがって、解は $x = -1, -3 + \sqrt{15}, -3 - \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

問題6：$m < -2$ または $m > 6$

問題7：$x = -1, -3 + \sqrt{15}, -3 - \sqrt{15}$