多項式$P(x)$を$x-1$で割った余りが3、$x+3$で割った余りが-5である。$P(x)$を$(x-1)(x+3)$で割った余りを求める。

1. 問題の内容

多項式$P(x)$を$x-1$で割った余りが3、$x+3$で割った余りが-5である。$P(x)$を$(x-1)(x+3)$で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$を$(x-1)(x+3)$で割ったときの商を$Q(x)$、余りを$ax+b$とすると、

$P(x) = (x-1)(x+3)Q(x) + ax+b$

と表せる。

$x=1$のとき、$P(1) = a+b = 3$

$x=-3$のとき、$P(-3) = -3a+b = -5$

この2つの式を連立して解く。

$a+b=3$

$-3a+b=-5$

上の式から下の式を引くと、

$4a = 8$

$a = 2$

$a+b = 3$に代入すると、

$2+b = 3$

$b = 1$

したがって、余りは$2x+1$である。

3. 最終的な答え

$2x+1$