2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3m - 9 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3m - 9 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの虚数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ であることです。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題では、$a = 1$, $b = -m$, $c = m^2 - 3m - 9$ なので、判別式は次のようになります。

$D = (-m)^2 - 4(1)(m^2 - 3m - 9)$

$D = m^2 - 4m^2 + 12m + 36$

$D = -3m^2 + 12m + 36$

異なる2つの虚数解を持つためには、$D < 0$ でなければなりません。

$-3m^2 + 12m + 36 < 0$

両辺を $-3$ で割ると不等号の向きが変わります。

$m^2 - 4m - 12 > 0$

$(m - 6)(m + 2) > 0$

この不等式を解くためには、$m - 6 = 0$ と $m + 2 = 0$ を解いて、$m = 6$ と $m = -2$ を得ます。

数直線上での符号の変化を考えると、$m < -2$ または $m > 6$ となります。

3. 最終的な答え

$m < -2$ または $m > 6$