方程式 $|x-3| + |2x-3| = 9$ を解く問題です。

1. 問題の内容

方程式 $|x-3| + |2x-3| = 9$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号があるので、場合分けをして考えます。

$x-3$ の符号が変わる点は $x=3$ であり、$2x-3$ の符号が変わる点は $x=\frac{3}{2}$ です。

したがって、$x$ の範囲を以下の3つに分けて考えます。

(i) $x < \frac{3}{2}$ のとき

$x-3 < 0$ かつ $2x-3 < 0$ なので、

$$-(x-3) - (2x-3) = 9$$

$$-x + 3 - 2x + 3 = 9$$

$$-3x + 6 = 9$$

$$-3x = 3$$

$$x = -1$$

これは $x < \frac{3}{2}$ を満たすので、解の候補です。

(ii) $\frac{3}{2} \le x < 3$ のとき

$x-3 < 0$ かつ $2x-3 \ge 0$ なので、

$$-(x-3) + (2x-3) = 9$$

$$-x + 3 + 2x - 3 = 9$$

$$x = 9$$

これは $\frac{3}{2} \le x < 3$ を満たさないので、解ではありません。

(iii) $x \ge 3$ のとき

$x-3 \ge 0$ かつ $2x-3 > 0$ なので、

$$(x-3) + (2x-3) = 9$$

$$x - 3 + 2x - 3 = 9$$

$$3x - 6 = 9$$

$$3x = 15$$

$$x = 5$$

これは $x \ge 3$ を満たすので、解の候補です。

したがって、$x = -1$ と $x = 5$ が解の候補となります。

これらを元の式に代入して確認します。

$x = -1$ のとき:

$|(-1)-3| + |2(-1)-3| = |-4| + |-5| = 4 + 5 = 9$ となり、成り立ちます。

$x = 5$ のとき:

$|(5)-3| + |2(5)-3| = |2| + |7| = 2 + 7 = 9$ となり、成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x = -1, 5$