(1) 初項が45、2項目が15、3項目が5である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。 (2) 第3項が18、第5項が162であり、公比が負である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

はい、承知いたしました。等比数列の問題ですね。

1. 問題の内容

(1) 初項が45、2項目が15、3項目が5である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

(2) 第3項が18、第5項が162であり、公比が負である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、公比$r$を求める。公比は隣り合う項の比で求められるので、

$r = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

$r = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

よって、公比$r$は$\frac{1}{3}$である。

等比数列の一般項は、$a_n = ar^{n-1}$で表される。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数である。

この問題では、初項$a = 45$、公比$r = \frac{1}{3}$であるから、一般項は

$a_n = 45 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

$45=5 \times 9 = 5 \times 3^2$だから

$a_n = 5 \times 3^2 \times 3^{-(n-1)} = 5 \times 3^{2-n+1} = 5 \times 3^{3-n}$

(2)

第3項が18、第5項が162であるから、

$a_3 = ar^2 = 18$

$a_5 = ar^4 = 162$

$\frac{a_5}{a_3} = \frac{ar^4}{ar^2} = \frac{162}{18} = 9$

$r^2 = 9$

$r = \pm 3$

公比が負であるから、$r = -3$

$ar^2 = 18$より

$a(-3)^2 = 18$

$9a = 18$

$a = 2$

したがって、一般項は

$a_n = 2(-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5 \times 3^{3-n}$

(2) $a_n = 2(-3)^{n-1}$