(1) $x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ かつ $x < 0$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$、 $x + \frac{1}{x}$、 $(x-\frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x})$ の値を求める。 (2) 実数 $x, y$ が $x+y=5$、$x^3+y^3=50$ を満たすとき、$xy$、$x^2+y^2$、$x^5+y^5$ の値を求める。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ かつ $x < 0$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$、 $x + \frac{1}{x}$、 $(x-\frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x})$ の値を求める。

(2) 実数 $x, y$ が $x+y=5$、$x^3+y^3=50$ を満たすとき、$xy$、$x^2+y^2$、$x^5+y^5$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2 = (2\sqrt{2})^2 + 2 = 8 + 2 = 10$

次に、$x + \frac{1}{x}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2 = 10 + 2 = 12$

$x < 0$ より、$x + \frac{1}{x} < 0$ であるから、$x + \frac{1}{x} = -\sqrt{12} = -2\sqrt{3}$

最後に、 $(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x})$ を求める。

$(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x}) = x^3 + 1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} = (x^3 - \frac{1}{x^3}) + (1 - \frac{1}{x})$

ここで、$x^3 - \frac{1}{x^3}$ を求める。

$(x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - 3x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x - \frac{1}{x})$

よって、$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3(x - \frac{1}{x}) = (2\sqrt{2})^3 + 3(2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 22\sqrt{2}$

また、$1 - \frac{1}{x} = 1 - (x - 2\sqrt{2}) = 1 - x$

したがって、求める値は、$22\sqrt{2} + x - 2 \sqrt{2} = 1-x$

$x-\frac{1}{x}=2\sqrt{2}$ より $x^2 - 2\sqrt{2}x - 1 = 0$

$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{8+4}}{2} = \sqrt{2}\pm\sqrt{3}$

$x < 0$ より $x = \sqrt{2}-\sqrt{3}$

$22\sqrt{2} + (1 - x) = 22\sqrt{2} + 1 - (\sqrt{2}-\sqrt{3}) = 21\sqrt{2}+\sqrt{3}+1$

よって、

$(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x}) = (x - \frac{1}{x})(x^2 + \frac{1}{x}) = 2\sqrt{2}(10-2\sqrt{3}) = 20\sqrt{2}-4\sqrt{6}$

(2)

$x+y=5$、$x^3+y^3=50$ を満たすとき、$xy$、$x^2+y^2$、$x^5+y^5$ を求める。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 5(25-3xy) = 50$

$25 - 3xy = 10$

$3xy = 15$

$xy = 5$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 5^2 - 2(5) = 25 - 10 = 15$

$x^5 + y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y) = 15 \cdot 50 - 5^2 \cdot 5 = 750 - 125 = 625$

3. 最終的な答え

(1)

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 10$

$x + \frac{1}{x} = -2\sqrt{3}$

$(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x}) = 20\sqrt{2}-4\sqrt{6}$

(2)

$xy = 5$

$x^2+y^2 = 15$

$x^5+y^5 = 625$