与えられた多項式 $x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (4y - 1)x + (3y^2 + y - 2)$

次に、定数項である $3y^2 + y - 2$ を因数分解します。

$3y^2 + y - 2 = (3y - 2)(y + 1)$

元の式が因数分解できると仮定すると、

$(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になると考えられます。

この式を展開すると、

$x^2 + (a+c)xy + (b+d)x + acy^2 + (ad+bc)y + bd$

となります。

この式と元の式を比較すると、

$a + c = 4$

$ac = 3$

$b + d = -1$

$ad + bc = 1$

$bd = -2$

が得られます。

$ac = 3$ を満たす整数解として、$a=1, c=3$ または $a=3, c=1$ が考えられます。

a = 1, c = 3 の場合、

$b + d = -1$

$d + 3b = 1$

$bd = -2$

上の二つの式から、$d = 1 - 3b$ を得て、$bd = -2$ に代入すると

$b(1 - 3b) = -2$

$b - 3b^2 = -2$

$3b^2 - b - 2 = 0$

$(3b + 2)(b - 1) = 0$

$b = 1$ または $b = -2/3$

$b=1$ の時、$d = 1 - 3(1) = -2$ となり、$bd = 1(-2) = -2$ を満たします。

このとき、

$(x + y + 1)(x + 3y - 2)$

を展開すると、

$x^2 + 3xy - 2x + xy + 3y^2 - 2y + x + 3y - 2$

$= x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$

となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x + y + 1)(x + 3y - 2)$