以下の問題に解答します。 (1) $(3x+2)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めます。 (2) $\frac{x^2+x-6}{x^2-4x+4} \times \frac{x^2+2x-8}{x^2-x-12}$ を計算します。 (3) $\frac{x+5}{x^2-2x-3}+\frac{1}{x^2+3x+2}$ を計算します。 (4) 等式 $ax^2+bx+3=(x-1)(x+1)+c(x+2)^2$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めます。 (5) 等式 $(4-3i)x+(2+5i)y=6-11i$ を満たす実数 $x$, $y$ を求めます。 (6) $(3-i)+(1+i)$ を計算します。 (7) $(3-2i)^2$ を計算します。 (8) $\frac{3+i}{2-i}$ を計算します。 (9) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$ を計算します。 (10) 整式 $2x^3-x^2+3x+1$ を $1$ 次式 $x+1$ で割った余りを求めます。

1. 問題の内容

以下の問題に解答します。

(1) $(3x+2)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めます。

(2) $\frac{x^2+x-6}{x^2-4x+4} \times \frac{x^2+2x-8}{x^2-x-12}$ を計算します。

(3) $\frac{x+5}{x^2-2x-3}+\frac{1}{x^2+3x+2}$ を計算します。

(4) 等式 $ax^2+bx+3=(x-1)(x+1)+c(x+2)^2$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めます。

(5) 等式 $(4-3i)x+(2+5i)y=6-11i$ を満たす実数 $x$, $y$ を求めます。

(6) $(3-i)+(1+i)$ を計算します。

(7) $(3-2i)^2$ を計算します。

(8) $\frac{3+i}{2-i}$ を計算します。

(9) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$ を計算します。

(10) 整式 $2x^3-x^2+3x+1$ を $1$ 次式 $x+1$ で割った余りを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より、$(3x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (3x)^k 2^{5-k}$。$x^3$ の項は $k=3$ のときであり、その係数は $\binom{5}{3} 3^3 2^2 = 10 \cdot 27 \cdot 4 = 1080$。

(2) $\frac{x^2+x-6}{x^2-4x+4} \times \frac{x^2+2x-8}{x^2-x-12} = \frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)^2} \times \frac{(x+4)(x-2)}{(x-4)(x+3)} = \frac{x+4}{x-4}$。

(3) $\frac{x+5}{x^2-2x-3}+\frac{1}{x^2+3x+2} = \frac{x+5}{(x-3)(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x+5)(x+2)+1(x-3)}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2+7x+10+x-3}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2+8x+7}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{x+7}{(x-3)(x+2)} = \frac{x+7}{x^2-x-6}$。

(4) $ax^2+bx+3=(x-1)(x+1)+c(x+2)^2 = x^2-1+c(x^2+4x+4) = (1+c)x^2+4cx+(-1+4c)$。係数比較により、$a=1+c$, $b=4c$, $3=-1+4c$。$4c=4$ より $c=1$。よって、$a=1+1=2$, $b=4(1)=4$。

(5) $(4-3i)x+(2+5i)y=6-11i$。$(4x+2y)+(-3x+5y)i = 6-11i$。実部と虚部を比較すると、$4x+2y=6$ と $-3x+5y=-11$。$2x+y=3$ より $y=3-2x$。$-3x+5(3-2x)=-11$。$-3x+15-10x=-11$。$-13x=-26$。$x=2$。$y=3-2(2)=3-4=-1$。

(6) $(3-i)+(1+i) = 3-i+1+i = 4$。

(7) $(3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i) = 9-6i-6i+4i^2 = 9-12i-4 = 5-12i$。

(8) $\frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i+2i+i^2}{4-i^2} = \frac{6+5i-1}{4+1} = \frac{5+5i}{5} = 1+i$。

(9) $\sqrt{-2}\sqrt{-8} = \sqrt{2}i \cdot \sqrt{8}i = \sqrt{16} i^2 = 4(-1) = -4$。

(10) $P(x) = 2x^3-x^2+3x+1$ を $x+1$ で割った余りは、剰余の定理より $P(-1)$。$P(-1) = 2(-1)^3-(-1)^2+3(-1)+1 = -2-1-3+1 = -5$。

3. 最終的な答え

(1) $1080$

(2) $\frac{x+4}{x-4}$

(3) $\frac{x+7}{x^2-x-6}$

(4) $a=2$, $b=4$, $c=1$

(5) $x=2$, $y=-1$

(6) $4$

(7) $5-12i$

(8) $1+i$

(9) $-4$

(10) $-5$