初項が7、公比が3の等比数列について、初項から第n項までの和 $S_n$ を求め、さらに $S_n = 280$ となる $n$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

初項が7、公比が3の等比数列について、初項から第n項までの和 $S_n$ を求め、さらに $S_n = 280$ となる $n$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の和の公式を利用して、$S_n$ を求めます。等比数列の和の公式は、初項を $a$, 公比を $r$ とすると、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

今回の問題では、$a=7$, $r=3$ なので、これを代入すると、

$S_n = \frac{7(3^n - 1)}{3-1} = \frac{7(3^n - 1)}{2}$

次に、$S_n = 280$ となる $n$ の値を求めます。

$\frac{7(3^n - 1)}{2} = 280$

両辺に2をかけると、

$7(3^n - 1) = 560$

両辺を7で割ると、

$3^n - 1 = 80$

$3^n = 81$

$81 = 3^4$ なので、

$3^n = 3^4$

よって、$n = 4$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{7(3^n - 1)}{2}$

$n = 4$