与えられた式を計算し、その結果を求めます。 式は $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、その結果を求めます。

式は

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

* 第1項:

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = 3 - 2\sqrt{2}$

* 第2項:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3-2} = 5 - 2\sqrt{6}$

* 第3項:

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + 3 + 2\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4-3} = 3 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6}$

次に、これらをすべて足し合わせます。

$(3 - 2\sqrt{2}) + (5 - 2\sqrt{6}) + (3 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6}) = 3 + 5 + 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6} + 2\sqrt{3} = 11 + 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$11 + 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$