与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。 (1) $x^2 - 3x - 2$ (2) $2x^2 - 2x - 3$ (3) $x^2 + 4x + 6$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。

(1) $x^2 - 3x - 2$

(2) $2x^2 - 2x - 3$

(3) $x^2 + 4x + 6$

2. 解き方の手順

一般に、2次式 $ax^2 + bx + c$ を因数分解するには、まず2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を求めます。解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

(1) $x^2 - 3x - 2 = 0$ を解の公式で解きます。

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

よって、$\alpha = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$、$\beta = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ なので、

$x^2 - 3x - 2 = (x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$

(2) $2x^2 - 2x - 3 = 0$ を解の公式で解きます。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

よって、$\alpha = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$、$\beta = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$ なので、

$2x^2 - 2x - 3 = 2(x - \frac{1 + \sqrt{7}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{7}}{2})$

(3) $x^2 + 4x + 6 = 0$ を解の公式で解きます。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -2 \pm i\sqrt{2}$

よって、$\alpha = -2 + i\sqrt{2}$、$\beta = -2 - i\sqrt{2}$ なので、

$x^2 + 4x + 6 = (x - (-2 + i\sqrt{2}))(x - (-2 - i\sqrt{2})) = (x + 2 - i\sqrt{2})(x + 2 + i\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$

(2) $2(x - \frac{1 + \sqrt{7}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{7}}{2})$

(3) $(x + 2 - i\sqrt{2})(x + 2 + i\sqrt{2})$