次の式を計算してください。 $\frac{3\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{5}+4\sqrt{3}}{3\sqrt{5}-4\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の式を計算してください。

$\frac{3\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{5}+4\sqrt{3}}{3\sqrt{5}-4\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

一つ目の分数 $\frac{3\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{5}-5\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$

$=\frac{3\sqrt{5}\sqrt{5} - 3\sqrt{5}\sqrt{3} - 5\sqrt{3}\sqrt{5} + 5\sqrt{3}\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$=\frac{3(5) - 3\sqrt{15} - 5\sqrt{15} + 5(3)}{5 - 3}$

$=\frac{15 - 8\sqrt{15} + 15}{2}$

$=\frac{30 - 8\sqrt{15}}{2}$

$=15 - 4\sqrt{15}$

次に、二つ目の分数 $\frac{3\sqrt{5}+4\sqrt{3}}{3\sqrt{5}-4\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $3\sqrt{5}+4\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3\sqrt{5}+4\sqrt{3}}{3\sqrt{5}-4\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{5}+4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3})}{(3\sqrt{5}-4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3})}$

$=\frac{(3\sqrt{5})^2 + 2(3\sqrt{5})(4\sqrt{3}) + (4\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{5})^2 - (4\sqrt{3})^2}$

$=\frac{9(5) + 24\sqrt{15} + 16(3)}{9(5) - 16(3)}$

$=\frac{45 + 24\sqrt{15} + 48}{45 - 48}$

$=\frac{93 + 24\sqrt{15}}{-3}$

$=-31 - 8\sqrt{15}$

最後に、二つの分数の結果を足し合わせます。

$(15 - 4\sqrt{15}) + (-31 - 8\sqrt{15}) = 15 - 31 - 4\sqrt{15} - 8\sqrt{15}$

$=-16 - 12\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$-16 - 12\sqrt{15}$