容器Aにはx%の食塩水が100g、容器Bにはy%の食塩水が100g入っている。 容器Aの食塩水50gを容器Bに移してかき混ぜ、続いて容器Bの食塩水50gを容器Aに移してかき混ぜる。これを1回の操作とする。 この操作を2回行う。Aの濃度は1回目の操作を行ったときは16%で、2回目の操作を行ったときは14%であった。このとき、x, yの値を求める。

1. 問題の内容

容器Aにはx%の食塩水が100g、容器Bにはy%の食塩水が100g入っている。

容器Aの食塩水50gを容器Bに移してかき混ぜ、続いて容器Bの食塩水50gを容器Aに移してかき混ぜる。これを1回の操作とする。

この操作を2回行う。Aの濃度は1回目の操作を行ったときは16%で、2回目の操作を行ったときは14%であった。このとき、x, yの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、1回目の操作後のA, Bの濃度を求める。

AからBに50g移動後、Aの食塩水の量は50gで濃度はx%、Bの食塩水の量は150g。

Bの濃度は、

$\frac{100y + 50x}{150} = \frac{2y+x}{3}$ (%)

次にBからAに50g移動後、Aの食塩水の量は100g。

Aの濃度は、

$\frac{50x + 50 \cdot \frac{2y+x}{3}}{100} = \frac{x + \frac{2y+x}{3}}{2} = \frac{3x+2y+x}{6} = \frac{4x+2y}{6} = \frac{2x+y}{3}$ (%)

これが16%なので、

$\frac{2x+y}{3} = 16$

$2x+y = 48$ (1)

次に2回目の操作後のAの濃度を求める。

1回目の操作後、Aの食塩水は100gで濃度は16%、Bの食塩水は100gで濃度は$\frac{2y+x}{3}$%。

AからBに50g移動後、Aの食塩水の量は50gで濃度は16%、Bの食塩水の量は150g。

Bの濃度は、

$\frac{100 \cdot \frac{2y+x}{3} + 50 \cdot 16}{150} = \frac{\frac{2(2y+x)}{3} + 16}{3} = \frac{4y+2x+48}{9}$ (%)

次にBからAに50g移動後、Aの食塩水の量は100g。

Aの濃度は、

$\frac{50 \cdot 16 + 50 \cdot \frac{4y+2x+48}{9}}{100} = \frac{16 + \frac{4y+2x+48}{9}}{2} = \frac{144+4y+2x+48}{18} = \frac{2x+4y+192}{18} = \frac{x+2y+96}{9}$ (%)

これが14%なので、

$\frac{x+2y+96}{9} = 14$

$x+2y+96 = 126$

$x+2y = 30$ (2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1): $2x+y = 48$

(2): $x+2y = 30$

(1)より$y = 48-2x$

これを(2)に代入すると、

$x+2(48-2x) = 30$

$x+96-4x = 30$

$-3x = -66$

$x=22$

$y = 48-2x = 48-44 = 4$

3. 最終的な答え

x = 22, y = 4