与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理した後、因数分解を行います。

ステップ1: 式を展開する

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

ステップ2: 式を整理する

まず、$a$について整理します。

$a^2(b-c) + a(c^2-b^2) + (b^2c - c^2b)$

ステップ3: $a$についての式を因数分解する

$a^2(b-c) + a(c-b)(c+b) + bc(b-c)$

$= a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)$

共通因数$(b-c)$でくくり出す

$= (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$

$= (b-c)(a^2 - ab - ac + bc)$

$= (b-c)[a(a-b) - c(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解した結果は、$-(a-b)(b-c)(c-a)$です。

最終的な答え：

$-(a-b)(b-c)(c-a)$