与えられた式 $2(a+b)(b+c)(c+a) + 5abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2(a+b)(b+c)(c+a) + 5abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2(a+b)(b+c)(c+a)$を展開します。

$2(a+b)(b+c)(c+a) = 2(a+b)(bc + ab + c^2 + ac) = 2(abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc) = 2(2abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2)$

$= 4abc + 2a^2b + 2ac^2 + 2a^2c + 2b^2c + 2ab^2 + 2bc^2$

したがって、$2(a+b)(b+c)(c+a) + 5abc = 4abc + 2a^2b + 2ac^2 + 2a^2c + 2b^2c + 2ab^2 + 2bc^2 + 5abc = 2a^2b + 2ac^2 + 2a^2c + 2b^2c + 2ab^2 + 2bc^2 + 9abc$

ここで、$a=-b$のとき、

$2a^2b + 2ac^2 + 2a^2c + 2b^2c + 2ab^2 + 2bc^2 + 9abc = -2b^3 + 2bc^2 - 2b^2c + 2b^2c - 2b^3 + 2bc^2 - 9b^2c = -4b^3 + 4bc^2 - 9b^2c = b(-4b^2 + 4c^2 - 9bc) \ne 0$

よって、$a+b$は因数ではない。

次に、$a+b+c = 0$と仮定すると、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$なので、

$2(a+b)(b+c)(c+a) + 5abc = 2(-c)(-a)(-b) + 5abc = -2abc + 5abc = 3abc$

$a=1, b=1, c=1$のとき、

$2(1+1)(1+1)(1+1)+5(1)(1)(1) = 2(2)(2)(2) + 5 = 16+5=21$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2 = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

$2(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc = 2(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc) + 3abc = 2a^2b + 2a^2c + 2b^2a + 2b^2c + 2c^2a + 2c^2b + 6abc + 3abc = 2a^2b + 2ac^2 + 2a^2c + 2b^2c + 2ab^2 + 2bc^2 + 9abc$

したがって、$2(a+b)(b+c)(c+a) + 5abc = 2(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc = (a+b+c)(2(ab+bc+ca))+3abc$ではない。

ここで、$2(a+b)(b+c)(c+a)+5abc=(a+b+c)(2ab+2bc+2ca+abc/(a+b+c))$

$2(a+b)(b+c)(c+a) + 5abc = (a+b+c)(2(ab+bc+ca) + abc)$

$= (a+b+c)(2ab+2bc+2ca)+abc$

が正しいか確かめる

$2a^2b + 2a^2c + 2b^2a + 2b^2c + 2c^2a + 2c^2b + 9abc = 2a^2b + 2a^2c + 2b^2a + 2b^2c + 2c^2a + 2c^2b + 6abc + abc = a^2b + abc+ a^2c+ab^2 + b^2c + abc+abc+bc^2 + ac^2$

$= 2(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc)$

$2(a+b)(b+c)(c+a)+5abc=(a+b+c)(2ab+2bc+2ca)+abc$

$= (a+b+c)(2(ab+bc+ca)+abc/(a+b+c)$

$2(a+b)(b+c)(c+a)+5abc=(a+b+c)(2ab+2bc+2ac) + abc$ではない。

$a=1, b=1, c=1$で確認すると$21=3(2(3))+1 = 19$なので成り立たない。

$2(a+b)(b+c)(c+a)+5abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+...$

$a=1, b=1, c=1$で確認すると$21=(3)(3)=9$なので成り立たない。

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$a+b, b+c, c+a$の形を作ると、$a,b,c$の対称式になり、$a+b+c$を因数に持つものを探す。

正解は$(a+b+c)(ab+bc+ca)+4abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ac)$.

3. 最終的な答え

$2(a+b)(b+c)(c+a) + 5abc = (a+b+c)(2ab+2bc+2ca + abc)$

$2(a+b)(b+c)(c+a) + 5abc = (a+b+c)(2(ab+bc+ca))+abc = 2a^2b + 2ac^2 + 2a^2c + 2b^2c + 2ab^2 + 2bc^2 + 9abc$

最終的に正しい因数分解は

$(a+b+c)(2(ab+bc+ca))+abc$ではない。

$2(a+b)(b+c)(c+a)+5abc=(a+b+c)(2(ab+bc+ca)+abc)$

展開すると

$(a+b+c)(2ab+2bc+2ca)+abc$

$(a+b+c)$を括り出すことができませんでした。

式の間違いがある可能性があります。

元の問題が$2(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ならば$(a+b+c)(ab+bc+ca)$になる

最終的な答え：因数分解できない