$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ の両辺を2乗します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{5})^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 5$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5$

次に、両辺から2を引きます。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$