ある映画館の入場券は大人券1300円、子ども券800円、親子ペア券2000円の3種類がある。ある日の入場券の販売額の合計が272900円であり、大人券の販売枚数は親子ペア券の販売枚数の半分より9枚少ない。販売枚数が最も多いのが親子ペア券、次が子ども券、最も少ないのが大人券であったとき、大人券の販売枚数を求めよ。

1. 問題の内容

ある映画館の入場券は大人券1300円、子ども券800円、親子ペア券2000円の3種類がある。ある日の入場券の販売額の合計が272900円であり、大人券の販売枚数は親子ペア券の販売枚数の半分より9枚少ない。販売枚数が最も多いのが親子ペア券、次が子ども券、最も少ないのが大人券であったとき、大人券の販売枚数を求めよ。

2. 解き方の手順

大人券の枚数を$x$, 子供券の枚数を$y$, 親子ペア券の枚数を$z$とする。

販売額の合計は272900円なので、以下の式が成り立つ。

$1300x + 800y + 2000z = 272900$

大人券の販売枚数は親子ペア券の販売枚数の半分より9枚少ないので、以下の式が成り立つ。

$x = \frac{z}{2} - 9$

販売枚数の大小関係は$z > y > x$である。

まず、最初の式を簡単にすると、

$13x + 8y + 20z = 2729$

$x = \frac{z}{2} - 9$を$z$について解くと、

$z = 2x + 18$

これを$13x + 8y + 20z = 2729$に代入すると、

$13x + 8y + 20(2x + 18) = 2729$

$13x + 8y + 40x + 360 = 2729$

$53x + 8y = 2369$

$8y = 2369 - 53x$

$y = \frac{2369 - 53x}{8}$

$z > y > x$に$z = 2x + 18$を代入すると、$2x + 18 > y > x$

$y > x$より、$\frac{2369 - 53x}{8} > x$

$2369 - 53x > 8x$

$2369 > 61x$

$x < \frac{2369}{61} \approx 38.8$

$2x + 18 > y$より、$2x + 18 > \frac{2369 - 53x}{8}$

$16x + 144 > 2369 - 53x$

$69x > 2225$

$x > \frac{2225}{69} \approx 32.2$

従って、$32.2 < x < 38.8$

$x$は整数なので、$33 \leq x \leq 38$

$x$の候補として36, 37, 38が与えられているので、それぞれの$x$について$y$と$z$を計算する。

$x = 36$のとき、$y = \frac{2369 - 53 \times 36}{8} = \frac{2369 - 1908}{8} = \frac{461}{8} = 57.625$

$z = 2 \times 36 + 18 = 72 + 18 = 90$

$z > y > x$は満たす。

$x = 37$のとき、$y = \frac{2369 - 53 \times 37}{8} = \frac{2369 - 1961}{8} = \frac{408}{8} = 51$

$z = 2 \times 37 + 18 = 74 + 18 = 92$

$z > y > x$は満たす。

$x = 38$のとき、$y = \frac{2369 - 53 \times 38}{8} = \frac{2369 - 2014}{8} = \frac{355}{8} = 44.375$

$z = 2 \times 38 + 18 = 76 + 18 = 94$

$z > y > x$は満たす。

$y$は整数でなければならないので、$x=37$が最も可能性が高い。

$x=37, y=51, z=92$のとき

$1300x + 800y + 2000z = 1300 \times 37 + 800 \times 51 + 2000 \times 92 = 48100 + 40800 + 184000 = 272900$

なので条件を満たす。

3. 最終的な答え

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