第10項が-31、第24項が39である等差数列について、初項から第何項までの和が最も小さくなるかを求める。

1. 問題の内容

第10項が-31、第24項が39である等差数列について、初項から第何項までの和が最も小さくなるかを求める。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とする。ここで、$a$は初項、$d$は公差、$n$は項の番号である。

問題文より、

$a_{10} = a + 9d = -31$

$a_{24} = a + 23d = 39$

この2つの式から$a$と$d$を求める。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$(a + 23d) - (a + 9d) = 39 - (-31)$

$14d = 70$

$d = 5$

これを1番目の式に代入すると、

$a + 9(5) = -31$

$a + 45 = -31$

$a = -76$

よって、この等差数列の一般項は $a_n = -76 + (n-1)5 = 5n - 81$ である。

この数列の和が最小となるのは、負の項の和に正の項が加わり始める直前である。

$a_n < 0$ となる最大の $n$ を求める。

$5n - 81 < 0$

$5n < 81$

$n < \frac{81}{5} = 16.2$

したがって、$a_{16} < 0$ かつ $a_{17} > 0$ となる。

$a_{16} = 5(16) - 81 = 80 - 81 = -1$

$a_{17} = 5(17) - 81 = 85 - 81 = 4$

初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。

$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

$S_{16} = \frac{16}{2} (2(-76) + (16-1)5) = 8(-152 + 75) = 8(-77) = -616$

$S_{17} = \frac{17}{2} (2(-76) + (17-1)5) = \frac{17}{2} (-152 + 80) = \frac{17}{2} (-72) = 17(-36) = -612$

$S_{15} = \frac{15}{2}(2(-76)+(15-1)5) = \frac{15}{2}(-152+70) = \frac{15}{2}(-82) = 15(-41) = -615$

$a_n$ が負である項までの和が最小になるのは，$a_{16}$までを足したときである。

3. 最終的な答え

第16項まで