まず、2つの放物線の交点を求めるために、2つの式を連立させます。
x2+(2a−1)x−a2+1=−x2−(a−2)x+a2+a これを整理すると、
2x2+(3a−3)x−2a2−a+1=0 2x2+3(a−1)x−(2a+1)(a−1)=0 2x2+3(a−1)x−(2a+1)(a−1)=0 交点が2つ存在するためには、この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ必要があります。判別式 D>0 を計算します。 D=(3(a−1))2−4(2)(−(2a+1)(a−1))=9(a−1)2+8(2a+1)(a−1)=(a−1)(9(a−1)+8(2a+1))=(a−1)(9a−9+16a+8)=(a−1)(25a−1) D>0 より、(a−1)(25a−1)>0。したがって、a<251 または a>1。 次に、2つの交点を通る直線の方程式を求めます。2つの放物線の方程式の差を考えると、y が消去され、2つの交点を通る直線を表すことができます。 (x2+(2a−1)x−a2+1)−(−x2−(a−2)x+a2+a)=0 2x2+(3a−3)x−2a2−a+1=0 この2次式は、2つの交点を通る直線の方程式ではありません。2つの交点を通る直線は、もとの2つの放物線 y=x2+(2a−1)x−a2+1 と y=−x2−(a−2)x+a2+a の差をとることで得られます。しかし、これらの放物線そのものではなく、交点の座標を求める必要があります。交点の座標を (x1,y1),(x2,y2) とすると、これらの点を通る直線は y=mx+n と表せます。ここで、m と n は a の関数となります。この直線が a に関係なく定点を通ることを示す必要があります。 交点を通る直線は、2つの放物線の式を連立させた結果の式を f(x,a)=0 とすると、f(x,a)=2x2+3(a−1)x−(2a+1)(a−1)=0 となります。この式は一般的には直線を表しません。 一方、F(x,y,a)=x2+(2a−1)x−a2+1−y=0 , G(x,y,a)=−x2−(a−2)x+a2+a−y=0 とすると, F(x,y,a)−G(x,y,a)=0 は2交点を通る直線です。 2x2+(3a−3)x−2a2−a+1=0 より、2x2−3x+1+a(3x−2a−1)=0。 これは正しくないので、もう一度。
直線は$y=x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1 - (x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1) = -x^2-(a-2)x+a^2+a- (x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1)より、y=x^2+(2a-1)x-a^2+1, -x^2-(a-2)x+a^2+a, の連立式から、2つを足すと、y= (2a-1+a-2)x +a+1, 整理して、-2x^2 -3a+3+ 2a^2+a-1になる。
2x2+(3a−3)x−(2a+1)(a−1)=0より2x2−3x+1+a(3x−2a−1)=0 になる。 直線の方程式は F(x,y,a)=0 と G(x,y,a)=0 より2x2+(3a−3)x−2a2−a+1=0 を 2式の差をとります。つまり、 2つの式を引くとF−G=2x2+3(a−1)x−2a2−a+1=0 これは連立させたときの式なので, H=x2+(2a−1)x−a2+1+x2+(a−2)x−a2−a=0 とする。 H=x2+(2a−1)x−a2+1,H1=−x2+(a−2)x−a2−a, 交点を通過する直線の傾きは傾きは x2+..+x2=..=0, 2a2+a+1=0のとき、定点を持つ。 2 つの交点を通る直線は、2x2+3(a−1)x−(2a+1)(a−1)=0 異なる2つの解を持つ必要がある。 直線は F(x,y)=(x2+(2a−1)x−a2+1)−y=0 , G(x,y)=−(x2+(a−2)x−a2−a)−y=0,F−G=2x2+3(a−1)−2a2−a+1より、F−G=0 より、２式より 2つの放物線の差をとり、2x2+3(a−1)x−(2a2+a−1)=0とする。 y=(2x2−3x+1)+3ax−2a2−a=0。 これから(3x−2a)a+(2a2+a+1) 