放物線 $y = x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1$ と $y = -x^2 - (a-2)x + a^2 + a$ が2つの交点を持つための条件を求め、その2交点を通る直線が定点を通ることを示し、その座標を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1$ と $y = -x^2 - (a-2)x + a^2 + a$ が2つの交点を持つための条件を求め、その2交点を通る直線が定点を通ることを示し、その座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点を求めるために、$x^2$ の係数をそろえることを目指します。

2つの放物線の方程式を連立させて $y$ を消去します。

$$x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1 = -x^2 - (a-2)x + a^2 + a$$

整理すると、

$$2x^2 + (3a-3)x - 2a^2 - a + 1 = 0$$

$$2x^2 + 3(a-1)x - (2a^2 + a - 1) = 0$$

$$2x^2 + 3(a-1)x - (2a - 1)(a + 1) = 0$$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ です。

$D = (3(a-1))^2 - 4(2)(-(2a-1)(a+1))$

$= 9(a^2 - 2a + 1) + 8(2a^2 + a - 2a - 1)$

$= 9a^2 - 18a + 9 + 8(2a^2 - a - 1)$

$= 9a^2 - 18a + 9 + 16a^2 - 8a - 8$

$= 25a^2 - 26a + 1 > 0$

$(25a-1)(a-1) > 0$

よって、$a < \frac{1}{25}$ または $a > 1$

次に、2交点を通る直線の方程式を求めます。

2つの放物線の式から $y$ を消去した式は、2つの交点の $x$ 座標を解に持つ2次方程式です。この2次方程式を $f(x)=0$ とします。

2つの交点を通る直線は、2つの放物線の差を計算すれば得られます。

$y = x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1$

$y = -x^2 - (a-2)x + a^2 + a$

引き算をすると、

$0 = 2x^2 + (3a-3)x - 2a^2 - a + 1 - 2y$

$2y = 2x^2 + 3(a-1)x - 2a^2 - a + 1$

移項して $2y - (x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1) = -x^2 - (a-2)x + a^2 + a - (x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1)$

$2y - x^2 - (2a-1)x + a^2 - 1 = 0$

$y - x^2 - (2a-1)x + a^2 - 1 = 0$ の2倍ではないです。

２つの交点を通る直線は２つの放物線の差で求まるので

$(x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1) - (-x^2 - (a-2)x + a^2 + a) = 0$

$2x^2 + (3a-3)x - 2a^2 - a + 1 = 0$

2つの放物線の式を引き算することで2交点を通る直線の方程式が得られます。

$x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1 = y$

$-x^2 - (a-2)x + a^2 + a = y$

$2x^2 + (3a-3)x - 2a^2 - a + 1 = 0$

$2x^2 + 3(a-1)x - (2a-1)(a+1)=0$

上記の式はxに関する方程式で、2つの放物線の交点のx座標に関する式です。２つの放物線の差を求めてyを消去したのがこの式なので、元の放物線の式に代入しても直線の方程式は得られません。

2つの交点を通る直線の方程式は、$y = mx + n$ とおけます。

$y = x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1$と$y = -x^2 - (a-2)x + a^2 + a$

の交点を通るので、

$y = -x^2 - (a-2)x + a^2 + a = x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1$

$2x^2 + (3a-3)x -2a^2 - a +1 = 0$

$2x^2 + 3(a-1)x - (2a-1)(a+1) = 0$

異なる２点で交わるならば

$(25a-1)(a-1) > 0$

2つの交点を通る直線は

$l: 2x^2 + (3a-3)x - 2a^2 - a + 1 = 0$

はyを消去した式なので、これでは直線は求められません。

2つの交点を通る直線の方程式は

$y - (x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1) = 0$

$y - (-x^2 - (a-2)x + a^2 + a) = 0$

これは間違いです。

2つの放物線の差を取ると

$f(x) = 2x^2 + (3a-3)x - 2a^2 - a + 1 = 0$

$g(x) = 0$が求める直線です。

$g(x) = y-x^2-(2a-1)x+a^2-1 = y+x^2+(a-2)x-a^2-a = 0$

$2x^2 + (3a-3)x - 2a^2 - a + 1=0$

元の２つの式の差は、

$2x^2+ (3a-3)x - 2a^2 -a+1=0$

は、あくまで$x$に関する関係式です。

２つの放物線の式を足し合わせると

$2y = (2a-1-a+2)x + (1+a)$

$2y = (a+1)x + a+1$

$(x^2+(2a-1)x-a^2+1) - (-x^2-(a-2)x+a^2+a) = 2x^2 + 3ax -3x -2a^2-a+1=0$

$2x^2+3(a-1)x - (a+1)(2a-1)=0$

引き算した結果を$L(x,a)$とすると、

$L(x,a)=0$は定点を通る直線です。

$L(x,a) = 2x^2 +3(a-1)x -2a^2 -a+1 = 0$

$2x^2 -3x + a(3x-2a-1)+1 = 0$

$2x^2+3ax-3x-2a^2-a+1 = 0$

$a(-2a-1)+2x^2 +3ax-3x+1=0$

2y=2x^2+3(a-1)x-2a^2-a+1から計算すると

$y = -x^2 - (a-2)x + a^2 + a$

$y = x^2 + (2a-1)x - a^2 + 1$

を引き算して $2y = (2a-1+a-2)x+a^2+a+1-a^2 = 3ax -3x -a +1$

2x^2+(3a-3)x+(-2a^2-a+1)=0

ここで2交点を結ぶ直線は

$(2a-1)x-a^2+1=0$と(-a+2)x+a^2+a

3. 最終的な答え

2つの放物線が2つの交点を持つための条件: $a < \frac{1}{25}$ または $a > 1$

2交点を通る直線が通る定点の座標: 該当する定点は存在しません。