与えられた式を計算し、簡略化してください。 式は $2(a+2b)c^2 + 2(b+2c)a^2 + 2(c+2a)b^2 + 9abc$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、簡略化してください。

式は $2(a+2b)c^2 + 2(b+2c)a^2 + 2(c+2a)b^2 + 9abc$ です。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$2(a+2b)c^2 = 2ac^2 + 4bc^2$

$2(b+2c)a^2 = 2ba^2 + 4ca^2$

$2(c+2a)b^2 = 2cb^2 + 4ab^2$

次に、これらの展開した項を元の式に代入します。

$2ac^2 + 4bc^2 + 2ba^2 + 4ca^2 + 2cb^2 + 4ab^2 + 9abc$

式を整理します。

$2ac^2 + 4bc^2 + 2a^2b + 4a^2c + 2b^2c + 4ab^2 + 9abc$

次に、式を因数分解できるか確認します。

ここで、式を変形して、$2(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2) + 9abc$ とすることができます。

さらに変形すると、$2[a^2(b+c) + a(b^2 + c^2) + bc(b+c)] + 9abc$

ここで、$2(a+b)(b+c)(c+a) = 2(a+b)(bc + ba + c^2 + ac) = 2(abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc)$

$=2(2abc + a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2)$

$=4abc + 2(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2)$

したがって、$2(a+b)(b+c)(c+a) = 2(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 4abc$

元の式は、 $2ac^2 + 4bc^2 + 2a^2b + 4a^2c + 2b^2c + 4ab^2 + 9abc$

ここで、$8abc + 2(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2)$

$=2(a+b)(b+c)(c+a) + 4abc$

$= 2(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2) + 4abc$

$2(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ と元の式を比較すると、等しくありません。

与えられた式は $2(a+2b)c^2 + 2(b+2c)a^2 + 2(c+2a)b^2 + 9abc = 2ac^2 + 4bc^2 + 2ba^2 + 4ca^2 + 2cb^2 + 4ab^2 + 9abc$ です。

$2(a+b)(b+c)(c+a)= 2(a+b)(bc+c^2+ba+ac) = 2(abc+ac^2+ba^2+a^2c+b^2c+bc^2+b^2a+abc)=4abc+2(ac^2+a^2c+ba^2+b^2a+bc^2+b^2c)$.

したがって、$2ac^2 + 4bc^2 + 2ba^2 + 4ca^2 + 2cb^2 + 4ab^2 + 9abc=2(a+b)(b+c)(c+a)+abc$.

この式は、簡単な形に因数分解できません。

したがって、元の式を展開した形が最も簡単な形です。

$2ac^2 + 4bc^2 + 2a^2b + 4a^2c + 2b^2c + 4ab^2 + 9abc$

3. 最終的な答え

$2ac^2 + 4bc^2 + 2a^2b + 4a^2c + 2b^2c + 4ab^2 + 9abc$

または、$2(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+9abc$.

あるいは、$2(a+b)(b+c)(c+a)+abc$