7人掛けの長椅子と5人掛けの長椅子が合計30脚用意されている。いくつかの条件から、出席者の人数を求める問題です。

1. 問題の内容

7人掛けの長椅子と5人掛けの長椅子が合計30脚用意されている。いくつかの条件から、出席者の人数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、7人掛けの長椅子の数を $x$ 脚、5人掛けの長椅子の数を $y$ 脚とおきます。

すると、$x + y = 30$ が成り立ちます。

次に、問題文の条件から不等式を立てます。

7人掛けの長椅子だけを使って7人ずつ着席させると、85人以上の出席者が着席できなかったので、出席者の人数を $N$ とすると

$7x < N - 85$ が成り立ちます。つまり、$N > 7x + 85$ が成り立ちます。

7人掛けの長椅子に4人ずつ着席させ、5人掛けの長椅子に3人ずつ着席させると、67人以上の出席者が着席できなかったので、

$4x + 3y < N - 67$ が成り立ちます。つまり、$N > 4x + 3y + 67$ が成り立ちます。

7人掛けの長椅子に7人ずつ着席させ、5人掛けの長椅子に5人ずつ着席させると、出席者全員が着席でき、1人も着席していない5人掛けの長椅子が1脚余ったので、

$7x + 5(y-1) = N$ が成り立ちます。

ここで、$x + y = 30$ より、$y = 30 - x$ ですので、$N = 7x + 5(30 - x - 1) = 7x + 5(29 - x) = 7x + 145 - 5x = 2x + 145$ となります。

これを不等式に代入します。

$N > 7x + 85$ より、$2x + 145 > 7x + 85$ なので、$5x < 60$。よって、$x < 12$ が成り立ちます。

$N > 4x + 3y + 67$ より、$2x + 145 > 4x + 3(30-x) + 67$ なので、$2x + 145 > 4x + 90 - 3x + 67$ 。よって、$x < -2x + 12 > 157 - 145$ が成り立ち、$x > 12$.

よって、$x<12$と$x>12$を満たす$x$が存在しないので、選択肢の出席者の数から逆算して考える。

N=169の場合、$x=(169-145)/2=12$, $y=30-12=18$。$7x+85=84+85=169$. 条件$N > 7x + 85$を満たさない。

N=171の場合、$x=(171-145)/2=13$, $y=30-13=17$。$7x+85=91+85=176$. 条件$N > 7x + 85$を満たす。$4x+3y+67 = 52+51+67=170$, 条件$N > 4x + 3y + 67$を満たす。

3. 最終的な答え

171人