$x+y+z = xy+yz+zx = 2\sqrt{2} + 1$ かつ $xyz = 1$ のとき、$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x+y+z = xy+yz+zx = 2\sqrt{2} + 1$ かつ $xyz = 1$ のとき、$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、求めたい式を変形します。

$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy} = \frac{x^2}{xyz} + \frac{y^2}{xyz} + \frac{z^2}{xyz}$

$xyz = 1$ より、

$\frac{x^2}{xyz} + \frac{y^2}{xyz} + \frac{z^2}{xyz} = x^2 + y^2 + z^2$

次に、$x^2 + y^2 + z^2$ を $(x+y+z)^2$ と $(xy+yz+zx)$ を使って表します。

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$

したがって、

$x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$

問題文より、$x+y+z = xy+yz+zx = 2\sqrt{2} + 1$ なので、

$x^2 + y^2 + z^2 = (2\sqrt{2} + 1)^2 - 2(2\sqrt{2} + 1)$

$(2\sqrt{2} + 1)^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2(2\sqrt{2})(1) + 1^2 = 8 + 4\sqrt{2} + 1 = 9 + 4\sqrt{2}$

$2(2\sqrt{2} + 1) = 4\sqrt{2} + 2$

$x^2 + y^2 + z^2 = (9 + 4\sqrt{2}) - (4\sqrt{2} + 2) = 9 + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 2 = 7$

$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy} = x^2 + y^2 + z^2 = 7$

3. 最終的な答え

7