2つの関数について、グラフの共有点の座標を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $y=\sqrt{x+3}$ と $y=2x$ の共有点の座標を求める。 (2) $y=-\sqrt{x+2}$ と $y=2x+1$ の共有点の座標を求める。

1. 問題の内容

2つの関数について、グラフの共有点の座標を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) $y=\sqrt{x+3}$ と $y=2x$ の共有点の座標を求める。

(2) $y=-\sqrt{x+2}$ と $y=2x+1$ の共有点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y=\sqrt{x+3}$ と $y=2x$ の共有点の座標を求める。

2つの式を連立させて解きます。

$\sqrt{x+3}=2x$

両辺を2乗します。

$x+3 = 4x^2$

$4x^2 - x - 3 = 0$

$(4x+3)(x-1)=0$

$x = -\frac{3}{4}, 1$

ここで、$\sqrt{x+3}$ は実数である必要があるので、$x+3 \geq 0$ 、つまり $x \geq -3$ を満たす必要があります。また、$\sqrt{x+3} = 2x$ なので、$2x \geq 0$、つまり $x \geq 0$ でなければなりません。

$x=-\frac{3}{4}$ は、$x \geq 0$ を満たさないので、解として不適です。

$x=1$ は、$x \geq 0$ を満たすので、解として適切です。

$x=1$ のとき、$y=2x=2(1)=2$。

したがって、共有点の座標は $(1,2)$ です。

(2) $y=-\sqrt{x+2}$ と $y=2x+1$ の共有点の座標を求める。

2つの式を連立させて解きます。

$-\sqrt{x+2}=2x+1$

両辺を2乗します。

$x+2=(2x+1)^2$

$x+2=4x^2+4x+1$

$4x^2+3x-1=0$

$(4x-1)(x+1)=0$

$x=\frac{1}{4}, -1$

ここで、$-\sqrt{x+2}=2x+1$ より、$2x+1 \leq 0$ となる必要があるので、$x \leq -\frac{1}{2}$ となります。また、$\sqrt{x+2}$ は実数である必要があるので、$x+2 \geq 0$ 、つまり $x \geq -2$ を満たす必要があります。

$x=\frac{1}{4}$ は、$x \leq -\frac{1}{2}$ を満たさないので、解として不適です。

$x=-1$ は、$x \leq -\frac{1}{2}$ を満たし、また$x \geq -2$も満たすので、解として適切です。

$x=-1$ のとき、$y=2x+1=2(-1)+1=-1$。

したがって、共有点の座標は $(-1,-1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(1,2)$

(2) $(-1,-1)$