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与えられた式 $(x+y+z)(x+y-z)$ を展開せよ。

代数学式の展開多項式因数分解
2025/5/12

1. 問題の内容

与えられた式 (x+y+z)(x+y−z)(x+y+z)(x+y-z) を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を次のように変形します。
(x+y+z)(x+y−z)=((x+y)+z)((x+y)−z)(x+y+z)(x+y-z) = ((x+y) + z)((x+y) - z)
ここで、x+y=Ax+y = A と置くと、
(A+z)(A−z)(A + z)(A - z) となり、これは和と差の積の公式 A2−z2A^2 - z^2 に当てはまります。
よって、A2−z2=(x+y)2−z2A^2 - z^2 = (x+y)^2 - z^2
(x+y)2(x+y)^2 を展開すると x2+2xy+y2x^2 + 2xy + y^2 になります。
したがって、(x+y)2−z2=x2+2xy+y2−z2(x+y)^2 - z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2

3. 最終的な答え

x2+2xy+y2−z2x^2 + 2xy + y^2 - z^2

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