$x^2 + 2y^2 = 1$ のとき、$x + 4y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x^2 + 2y^2 = 1$ のとき、$x + 4y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2y^2 = 1$ から $2y^2 = 1 - x^2$ であることがわかります。

これを $x + 4y^2$ に代入して、$x$ の関数に変換します。

$x + 4y^2 = x + 2(2y^2) = x + 2(1 - x^2) = x + 2 - 2x^2 = -2x^2 + x + 2$

この二次関数の最大値と最小値を求めるために、平方完成します。

$-2x^2 + x + 2 = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 2 = -2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) + 2 = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 2 = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{17}{8}$

ここで、$x^2 + 2y^2 = 1$ より、$-1 \le x \le 1$ である必要があります。

したがって、最大値は $x = \frac{1}{4}$ のとき $\frac{17}{8}$ となります。

最小値を求めます。

$x = -1$ のとき、 $-2x^2 + x + 2 = -2(-1)^2 + (-1) + 2 = -2 - 1 + 2 = -1$

$x = 1$ のとき、 $-2x^2 + x + 2 = -2(1)^2 + 1 + 2 = -2 + 1 + 2 = 1$

したがって、最小値は $x = -1$ のとき $-1$ となります。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{17}{8}$

最小値：$-1$