(1) 複素数 $a+bi$ と $a-bi$ の関係を答える問題です。 (2) 以下の複素数の計算をそれぞれ行う問題です。 ① $\frac{8+9i}{i}$ ② $\frac{3+i}{3-i}$

1. 問題の内容

(1) 複素数 $a+bi$ と $a-bi$ の関係を答える問題です。

(2) 以下の複素数の計算をそれぞれ行う問題です。

① $\frac{8+9i}{i}$

② $\frac{3+i}{3-i}$

2. 解き方の手順

(1)

複素数 $a+bi$ と $a-bi$ は互いに共役な複素数であると言います。

(2)

① $\frac{8+9i}{i}$ の計算

分母と分子に $i$ をかけます。

$\frac{8+9i}{i} = \frac{8+9i}{i} \times \frac{i}{i} = \frac{(8+9i)i}{i^2}$

分子を展開します。

$= \frac{8i + 9i^2}{i^2}$

$i^2 = -1$ を代入します。

$= \frac{8i + 9(-1)}{-1} = \frac{8i - 9}{-1}$

分子の符号を反転させます。

$= 9 - 8i$

② $\frac{3+i}{3-i}$ の計算

分母と分子に $3+i$ をかけます。

$\frac{3+i}{3-i} = \frac{3+i}{3-i} \times \frac{3+i}{3+i} = \frac{(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$

分子と分母を展開します。

$= \frac{9 + 3i + 3i + i^2}{9 - i^2}$

$= \frac{9 + 6i + i^2}{9 - i^2}$

$i^2 = -1$ を代入します。

$= \frac{9 + 6i - 1}{9 - (-1)} = \frac{8 + 6i}{10}$

分子と分母を2で割ります。

$= \frac{4+3i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$

3. 最終的な答え

(1) 共役

(2) ① $9-8i$

② $\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$