(2) $0 \le x \le 2$ のとき、$\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-2)^2}$ を簡単にしてください。 (3) $x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$, $y = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ のとき、次の値を求めてください。 (1) $x^2y + xy^2$ (2) $x^2+y^2$ (3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ (4) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a, b$ の値を求めてください。

1. 問題の内容

(2) $0 \le x \le 2$ のとき、$\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-2)^2}$ を簡単にしてください。

(3) $x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$, $y = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ のとき、次の値を求めてください。

(1) $x^2y + xy^2$

(2) $x^2+y^2$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a, b$ の値を求めてください。

2. 解き方の手順

(2)

$\sqrt{x^2} = |x|$ であり、$\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$ です。

$0 \le x \le 2$ なので、$|x| = x$ であり、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ です。

よって、$\sqrt{x^2} + \sqrt{(x-2)^2} = x + (2-x) = 2$ となります。

(3)

まず、$x+y$ と $xy$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{5}+1}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(1) $x^2y + xy^2 = xy(x+y) = 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$

(2) $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{5})^2 - 2(1) = 5 - 2 = 3$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{3}{1} = 3$

(4)

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$\sqrt{2}+1 \approx 2.414$ となります。

よって、整数部分は $a = 2$ であり、小数部分は $b = (\sqrt{2}+1)-2 = \sqrt{2}-1$ となります。

3. 最終的な答え

(2) 2

(3)

(1) $\sqrt{5}$

(2) 3

(3) 3

(4) $a = 2$, $b = \sqrt{2} - 1$