与えられた式 $x^3 - 3xy + y^3 + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 - 3xy + y^3 + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

この式は、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ の形に近いことに気づきます。

ここで、$z=1$ とおくと、$x^3 + y^3 + 1 - 3xy$ となり、与えられた式と同じ形になります。

したがって、$x^3 + y^3 + 1 - 3xy$ を因数分解することを考えます。

上記の公式を用いると、$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1) = (x+y+1)(x^2+y^2+1^2-xy-y(1)-x(1))$となります。

これを整理すると、

$x^3 + y^3 + 1 - 3xy = (x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-y-x)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x+y+1)(x^2+y^2-xy-x-y+1)$