与えられた式 $(a+b)^2(a^2+b^2)^2(a-b)^2$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)^2(a^2+b^2)^2(a-b)^2$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^2$ と $(a-b)^2$ を展開します。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

これらの結果を元の式に代入すると、

$(a+b)^2(a^2+b^2)^2(a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2+b^2)^2(a^2 - 2ab + b^2)$

ここで、$(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2)$ を先に計算します。これは、$A = a^2 + b^2$ とおくと、$(A + 2ab)(A - 2ab)$ となります。

よって、

$(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2) = (a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2$

元の式に代入すると、

$(a^2 + b^2)^2( (a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2)$

ここで、$x=a^2+b^2$とおくと、式は $x^2(x^2-4a^2b^2)$となる。

$x$を元に戻すと、

$(a^2+b^2)^2((a^2+b^2)^2-4a^2b^2) = (a^2+b^2)^4 - 4a^2b^2(a^2+b^2)^2$

$(a^2+b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

$(a^2+b^2)^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4)^2 = a^8 + 4a^6b^2 + 6a^4b^4 + 4a^2b^6 + b^8$

$4a^2b^2(a^2+b^2)^2 = 4a^2b^2(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) = 4a^6b^2 + 8a^4b^4 + 4a^2b^6$

したがって、

$(a^2+b^2)^4 - 4a^2b^2(a^2+b^2)^2 = (a^8 + 4a^6b^2 + 6a^4b^4 + 4a^2b^6 + b^8) - (4a^6b^2 + 8a^4b^4 + 4a^2b^6) = a^8 - 2a^4b^4 + b^8 = (a^4 - b^4)^2 = (a^4 + b^4 - 2a^2b^2)$

3. 最終的な答え

$a^8 - 2a^4b^4 + b^8$