整式 $2x^2 - 2x + 17$ を $x+2$ で割ると、商が $A$ で余りが $-2x+1$ となる。整式 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $2x^2 - 2x + 17$ を $x+2$ で割ると、商が $A$ で余りが $-2x+1$ となる。整式 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の割り算の式は、以下のようになります。

$($割られる式$) = ($割る式$) \times ($商$) + ($余り$)$

今回の問題に当てはめると、

$2x^2 - 2x + 17 = (x+2) \times A + (-2x+1)$

となります。

$A$ を求めるために式を変形します。

まず、$-2x+1$ を左辺に移項します。

$2x^2 - 2x + 17 - (-2x + 1) = (x+2) \times A$

$2x^2 - 2x + 17 + 2x - 1 = (x+2) \times A$

$2x^2 + 16 = (x+2) \times A$

次に、$x+2$ で両辺を割ります。

$A = \frac{2x^2 + 16}{x+2}$

ここで、分子を因数分解します。

$2x^2+16 = 2(x^2+8)$

よって、

$A = \frac{2(x^2 + 8)}{x+2}$

割り算を実行します。

$A = \frac{2x^2 + 0x + 16}{x+2}$

筆算または組み立て除法を用いて計算します。

$2x^2+0x+16$ を $x+2$ で割ると、商は $2x-4$ で、余りは $24$となります。

しかし、問題文より余りは$-2x+1$なので、

$2x^2-2x+17 = (x+2)A-2x+1$

$2x^2-2x+17+2x-1 = (x+2)A$

$2x^2+16 = (x+2)A$

$A = \frac{2x^2+16}{x+2}$

ここで、$2x^2+16$を$x+2$で割ることを考えます．

$2x^2+16 = 2(x^2+8)$であり， $x^2+8$を$x+2$で割ると，

$x^2+8 = (x+2)(x-2) + 12$なので，$2x^2+16 = 2(x+2)(x-2) + 24$となります．

すると，$2x^2+16 = (x+2)(2x-4) + 24$

となって，$A = \frac{2x^2+16}{x+2} = 2x-4 + \frac{24}{x+2}$となってしまいます．

問題文に誤りがある可能性があるので、問題文の通りの計算を進めます。

$2x^3-2x+17 = (x+2)A -2x+1$だとすると

$2x^3-2x+17 +2x-1 = (x+2)A$

$2x^3 +16 =(x+2)A$

$A = \frac{2x^3 + 16}{x+2}$

$A = \frac{2(x^3+8)}{x+2} = \frac{2(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2} = 2(x^2-2x+4) = 2x^2-4x+8$

3. 最終的な答え

もし問題文が $2x^3 - 2x + 17$を $x+2$で割ると、商がAで余りが$-2x+1$となる。整式Aを求めよ。であった場合、$A = 2x^2 - 4x + 8$。

もし問題文が $2x^2 - 2x + 17$を $x+2$で割ると、商がAで余りが$-2x+1$となる。整式Aを求めよ。であった場合、$A = \frac{2x^2+16}{x+2}$。