等比数列 $\{a_n\}$ において、第10項が $\frac{1}{16}$ 、第15項が2であるとき、第何項が初めて100を超えるかを求める問題です。ただし、公比は実数とします。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第10項が $\frac{1}{16}$ 、第15項が2であるとき、第何項が初めて100を超えるかを求める問題です。ただし、公比は実数とします。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = a r^{n-1}$ とします。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比です。

問題文より、

$a_{10} = a r^9 = \frac{1}{16}$

$a_{15} = a r^{14} = 2$

の2つの式が得られます。

これらの式を用いて、$a$ と $r$ を求めます。

2番目の式を1番目の式で割ると、

$\frac{a r^{14}}{a r^9} = \frac{2}{\frac{1}{16}}$

$r^5 = 32$

$r^5 = 2^5$

よって、$r=2$ となります。

$a r^9 = \frac{1}{16}$ に $r=2$ を代入すると、

$a \cdot 2^9 = \frac{1}{16}$

$a \cdot 512 = \frac{1}{16}$

$a = \frac{1}{16 \cdot 512} = \frac{1}{8192} = \frac{1}{2^{13}}$

したがって、一般項は $a_n = \frac{1}{2^{13}} \cdot 2^{n-1} = 2^{n-14}$ となります。

$a_n > 100$ となる $n$ を探します。

$2^{n-14} > 100$

$2^{n-14} > 2^{6.643856...}$

両辺の対数をとると、$n-14 > \log_2{100}$

$n-14 > 6.643856...$

$n > 20.643856...$

$n$ は整数なので、$n \geq 21$ となります。

3. 最終的な答え

第21項が初めて100を超えます。