2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ が、次の条件を満たすような異なる2つの解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 2つの解がともに負である場合

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ が、次の条件を満たすような異なる2つの解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 2つの解がともに負である場合

2. 解き方の手順

(1) 2つの解がともに負である場合

異なる2つの実数解を持つ条件、2つの解の和が負である条件、2つの解の積が正である条件を考慮します。

まず、2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

$D = (-2m)^2 - 4(m + 6) = 4m^2 - 4m - 24 > 0$

$m^2 - m - 6 > 0$

$(m - 3)(m + 2) > 0$

よって、$m < -2$ または $m > 3$ … ①

次に、2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2m$

$\alpha \beta = m + 6$

2つの解がともに負であるための条件は、$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ であることです。

$\alpha + \beta = 2m < 0$ より、$m < 0$ … ②

$\alpha \beta = m + 6 > 0$ より、$m > -6$ … ③

①, ②, ③ をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

①より、$m < -2$ または $m > 3$。

②より、$m < 0$。

③より、$m > -6$。

数直線を書くと、①と②と③をすべて満たすのは $-6 < m < -2$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

(1) $-6 < m < -2$