(1) $a(x+3) + b(x-1) = 12$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。 (4) $x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $a(x+3) + b(x-1) = 12$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

(4) $x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

与式を展開して整理します。

$ax + 3a + bx - b = 12$

$(a+b)x + (3a-b) = 12$

この式が $x$ についての恒等式であるためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$a + b = 0$

$3a - b = 12$

1つ目の式より、$b = -a$ となります。これを2つ目の式に代入すると、

$3a - (-a) = 12$

$4a = 12$

$a = 3$

よって、$b = -3$ となります。

(4)

与式に特定の $x$ の値を代入して、$a, b, c, d$ を求めます。

$x = 1$ を代入すると、

$1^3 - 1 = a(0) + b(0) + c(0) + d$

$0 = d$

よって、$d = 0$

$x = 2$ を代入すると、

$2^3 - 1 = a(1)(0) + b(1)(0) + c(1) + 0$

$7 = c$

よって、$c = 7$

$x = 3$ を代入すると、

$3^3 - 1 = a(2)(1)(0) + b(2)(1) + c(2) + 0$

$26 = 2b + 2c$

$26 = 2b + 2(7)$

$26 = 2b + 14$

$12 = 2b$

$b = 6$

よって、$b = 6$

$x = 0$ を代入すると、

$0^3 - 1 = a(-1)(-2)(-3) + b(-1)(-2) + c(-1) + 0$

$-1 = -6a + 2b - c$

$-1 = -6a + 2(6) - 7$

$-1 = -6a + 12 - 7$

$-1 = -6a + 5$

$-6 = -6a$

$a = 1$

よって、$a = 1$

3. 最終的な答え

(1)

$a = 3$

$b = -3$

(4)

$a = 1$

$b = 6$

$c = 7$

$d = 0$