問題は条件の必要性、十分性を問う問題です。 (1) $x=y$ であることは、$x^2 = y^2$ であるための何条件か？ (2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための何条件か？

1. 問題の内容

問題は条件の必要性、十分性を問う問題です。

(1) $x=y$ であることは、$x^2 = y^2$ であるための何条件か？

(2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための何条件か？

2. 解き方の手順

(1)

* $x=y$ ならば $x^2=y^2$ が成り立つか？

$x=y$ のとき、$x^2=x \times x$、$y^2 = y \times y$ であるから、$x^2=y^2$ が成り立ちます。したがって、$x=y$は$x^2=y^2$であるための十分条件です。

* $x^2=y^2$ ならば $x=y$ が成り立つか？

$x^2=y^2$のとき、$x^2-y^2 = (x-y)(x+y) = 0$ より、$x=y$ または $x=-y$です。したがって、$x^2=y^2$から$x=y$とは限りません。したがって、$x=y$は$x^2=y^2$であるための必要条件ではありません。

(2)

* $x$と$y$がともに有理数ならば、$xy$が有理数であるか？

$x, y \in \mathbb{Q}$のとき、$xy \in \mathbb{Q}$なので、$x$と$y$がともに有理数ならば、$xy$は有理数です。したがって、$x$と$y$がともに有理数は、$xy$が有理数であるための十分条件です。

* $xy$が有理数ならば、$x$と$y$がともに有理数であるか？

$xy$が有理数でも、$x$と$y$がともに有理数とは限りません。例えば、$x = \sqrt{2}$, $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、$xy = 1$となり有理数ですが、$x$と$y$はともに無理数です。したがって、$x$と$y$がともに有理数であることは、$xy$が有理数であるための必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件であるが、必要条件ではない。選択肢は2。

(2) 十分条件であるが、必要条件ではない。選択肢は2。