$xy - 2x - y - 2 = 0$ を満たす正の整数 $x, y$ の組を求める。

1. 問題の内容

$xy - 2x - y - 2 = 0$ を満たす正の整数 $x, y$ の組を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を因数分解しやすい形に変形します。

$xy - 2x - y - 2 = 0$

$x(y - 2) - y - 2 = 0$

$x(y - 2) - y + 2 - 4 = 0$

$x(y - 2) - (y - 2) = 4$

$(x - 1)(y - 2) = 4$

$x$ と $y$ は正の整数なので、$x - 1$ と $y - 2$ は整数です。

4の約数の組み合わせを考えます。4の約数は、1, 2, 4, -1, -2, -4 です。

それぞれの組み合わせについて、$x$ と $y$ を求めます。

(1) $x - 1 = 1$, $y - 2 = 4$ のとき、$x = 2$, $y = 6$

(2) $x - 1 = 2$, $y - 2 = 2$ のとき、$x = 3$, $y = 4$

(3) $x - 1 = 4$, $y - 2 = 1$ のとき、$x = 5$, $y = 3$

(4) $x - 1 = -1$, $y - 2 = -4$ のとき、$x = 0$, $y = -2$

(5) $x - 1 = -2$, $y - 2 = -2$ のとき、$x = -1$, $y = 0$

(6) $x - 1 = -4$, $y - 2 = -1$ のとき、$x = -3$, $y = 1$

$x$ と $y$ は正の整数なので、(1), (2), (3) の組み合わせが該当します。

したがって、$(x, y) = (2, 6), (3, 4), (5, 3)$ です。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (2, 6), (3, 4), (5, 3)$