(1) 等式 $(x-2y)^2+(2x+y)^2=5(x^2+y^2)$ が成り立つことを証明する穴埋め問題。 (2) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ のとき、等式 $\frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{c^2+d^2}{c^2}$ が成り立つことを証明する穴埋め問題。

1. 問題の内容

(1) 等式 $(x-2y)^2+(2x+y)^2=5(x^2+y^2)$ が成り立つことを証明する穴埋め問題。

(2) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ のとき、等式 $\frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{c^2+d^2}{c^2}$ が成り立つことを証明する穴埋め問題。

2. 解き方の手順

(1)

(左辺)を展開し整理する。

$(x-2y)^2+(2x+y)^2 = x^2-4xy+4y^2+4x^2+4xy+y^2 = 5x^2+5y^2$

(右辺)を展開する。

$5(x^2+y^2) = 5x^2+5y^2$

したがって、(左辺)=(右辺)となるから、等式は成り立つ。

(2)

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ とおくと、$a=bk$, $c=dk$

$\frac{a^2+b^2}{a^2} = \frac{(bk)^2+b^2}{(bk)^2} = \frac{b^2k^2+b^2}{b^2k^2} = \frac{b^2(k^2+1)}{b^2k^2} = \frac{k^2+1}{k^2}$

$\frac{c^2+d^2}{c^2} = \frac{(dk)^2+d^2}{(dk)^2} = \frac{d^2k^2+d^2}{d^2k^2} = \frac{d^2(k^2+1)}{d^2k^2} = \frac{k^2+1}{k^2}$

したがって、(左辺)=(右辺)となるから、等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

ア: $5x^2+5y^2$

イ: $5x^2+5y^2$

ウ: $bk$

エ: $dk$

オ: $\frac{k^2+1}{k^2}$