(1) $(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})^2$ を計算しなさい。 (2) $(3 - \sqrt{2} - \sqrt{11})(3 - \sqrt{2} + \sqrt{11})$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

(1) $(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})^2$ を計算しなさい。

(2) $(3 - \sqrt{2} - \sqrt{11})(3 - \sqrt{2} + \sqrt{11})$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

(1) $(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})^2$ を展開します。

$(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$

$= 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + 3$

$= 1 + 2 + 3 + \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{6}$

$= 6 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

(2) $(3 - \sqrt{2} - \sqrt{11})(3 - \sqrt{2} + \sqrt{11})$ を計算します。

これは、$A = 3 - \sqrt{2}$ とおくと、$(A - \sqrt{11})(A + \sqrt{11})$ の形をしているので、

$(A - \sqrt{11})(A + \sqrt{11}) = A^2 - (\sqrt{11})^2 = A^2 - 11$ となります。

ここで、$A = 3 - \sqrt{2}$ なので、

$A^2 = (3 - \sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$

したがって、

$(3 - \sqrt{2} - \sqrt{11})(3 - \sqrt{2} + \sqrt{11}) = (11 - 6\sqrt{2}) - 11 = -6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $6 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

(2) $-6\sqrt{2}$