次の式を計算する問題です。 $$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$

1. 問題の内容

次の式を計算する問題です。

$$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$

2. 解き方の手順

各項を有理化して計算します。

* 第1項:

$$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = 3 - 2\sqrt{2}$$

* 第2項:

$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3-2} = 5 - 2\sqrt{6}$$

* 第3項:

$$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + 3 + 2\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4-3} = 3 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6}$$

これらの項をすべて足し合わせます。

$$(3 - 2\sqrt{2}) + (5 - 2\sqrt{6}) + (3 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6})$$

$$= 3 + 5 + 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6}$$

$$= 11 + 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$$

3. 最終的な答え

$$11 + 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$$