与えられた式 $(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1})^3 + (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1})^3$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1})^3 + (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1})^3$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

次に、$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ を計算します。

これは $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ の逆数なので、$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2 - \sqrt{3}$

したがって、計算すべき式は $(2+\sqrt{3})^3 + (2-\sqrt{3})^3$ となります。

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ および $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を用いると、

$(2+\sqrt{3})^3 = 2^3 + 3(2^2)(\sqrt{3}) + 3(2)(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}$

$(2-\sqrt{3})^3 = 2^3 - 3(2^2)(\sqrt{3}) + 3(2)(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3 = 8 - 12\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{3} = 26 - 15\sqrt{3}$

したがって、$(2+\sqrt{3})^3 + (2-\sqrt{3})^3 = (26 + 15\sqrt{3}) + (26 - 15\sqrt{3}) = 52$

3. 最終的な答え

52